分数の計算

目次(もくじ)
【分数・真分数・仮分数・帯分数】(小学4年生)
【約分・通分・分数の大きさ】(小学4年〜5年生)
【同分母の分数の足し算・引き算】(小学4年生)
【異分母の分数の足し算・引き算】(小学5年生)
【分数の掛け算】(小学5年〜6年生)
【分数の割り算】(小学5年〜6年生)

分数(ぶんすう)(しん)分数・()分数・(たい)分数】(小学4年生)

■分数
 1  は1を3つに分けた1つを意味します。読み方は「3分(さんぶん)(いち)」で、
 3
横棒の下にある数を分母(ぶんぼ)、横棒の上にある数を分子(ぶんし)といいます。

 2   1  を2つ集めた数とみることができます。
 3  3

 2  は2÷3の商を表す数とみることもできます。
 3

(しん)分数と()分数
 1   2   3  のように、分子が分母より小さい分数を真分数といい、
 4  4  4

 4   5   6  のように、分子が分母に等しいか、分子が分母より大きい分数を
 4  4  4
()分数といいます。

【練習問題】
次のカッコの中に当てはまる数を入れてください。(答えはカッコ内をドラッグ)

 2÷5= ()     3÷7=  3      4÷5= ()
 5 ()  5

 ()÷6=  5     5÷()=  5     1÷4= ()
 6  8  4

【文章題】

(1) 3リットルの牛乳を5つのビンに同じ量づつ分けて入れた。1つのビンには何リットル入っているか。

答え (  3  リットル)
 5
(2) 2kgの粘土を3等分した。1つの重さはいくらか。
答え (  2  kg)
 3

(たい)分数
1+  2  を1  2  のように表します。整数と真分数の和になっている分数を、
 3  3
(たい)分数といいます。

■整数と分数
整数を分数の形で表すことができます。
2÷2=1, 3÷3=1, 4÷4=1であるから

1=  2   3   4  , また,2=  2   4   6  , 3=  3   6   9  と表せます。
 2  3  4  1  2  3  1  2  3

【練習問題】
次のカッコの中に当てはまる数を入れてください。(答えはカッコ内をドラッグ)

5=  5  10 (20) (25) , 7= () (14) 35 49
() ()   4   5  1   2 () ()

■帯分数を仮分数になおす計算
整数に分母をかけ、そのに分子をたしたを、仮分数の分子とする。分母はそのまま。

整数の2と分母の3をかける。
積の6に分子の1をたす。
和の7を分子に書く。
 2  1   =    7 
 3  3

・解説
 1  =2+  1   6   1   7 
 3  3  3  3  3

【練習問題】
次の帯分数を仮分数になおしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)

 3  (13) , 3  1  (13) , 5  3  (23) , 1  3  (11) , 2  5  (19)
 5 ()  4 ()  4 ()  8 ()  7 ()

■仮分数を帯分数になおす計算
分子を分母でわり。そのを整数部分とし、あまりを分子とすればよい。分母はそのまま。

分子の13を分母の5でわる。
(13÷5=2,あまり3)
商の2を整数部分に書く。
あまりの3を分子に書く。
    13   =  2  3 
  5  5

・解説
13 10  3  =2+  3  =2  3 
 5  5  5  5  5

【練習問題】
次の仮分数を帯分数になおしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)

12 =() () ,   17 =() () ,   23 =() ()
 5 ()  6 ()  4 ()

 8  =() () ,   14 =() ()
 5 ()  5 ()


約分(やくぶん)通分(つうぶん)・分数の大きさ】(小学4年〜5年生)

■分数の変形
1.分数の分子と分母に0以外の同じ数をかけても、分数の大きさは変わりません。


0.75,
=0.75,  9 
12
=0.75, 12
16
=0.75

ゆえに  
 = 
 =   9 
12
 =  12
16

すなわち  
3×2
4×2
3×3
4×3
3×4
4×4

2.分数の分子と分母を0以外の同じ数でわっても、分数の大きさは変わりません。
18
24
18÷2
24÷2
18÷3
24÷3
18÷6
24÷6

すなわち   18
24
 =   9 
12
 = 
 = 

【練習問題】
次のカッコに当てはまる数を入れてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


 =  ()
 6
 =  ()
 9
 =  ()
12
 =  (10)
 15
 =  (12)
 18


 =  (12)
 20
 =   18 
(30)
 =    6  
(10)
 =  (27)
 45
 =  (21)
 35

120
300
 =    60  
(150)
 =   30 
(75)
 =  ()
20
 =  (40)
100
 =   12 
(30)

■約分
分数の分子と分母を、それらの公約数でわり、簡単な分数にすることを約分するといいます。

()約分数
分数を、その分子と分母の最大公約数で約分すると、分子と分母に共通な素因数がなくなり、それ以上は約分ができなくなります。このような分数を既約分数といいます。

■答の表し方
計算をした最後の結果が分数になったときは、それを既約分数で表します。

■既約分数の求め方 (約分の仕方)
@分母と分子を、共通な素因数でわる。
Aこれを、共通な素因数がなくなるまで繰り返す。

24と18を共通な素因数2でわる。
商の12と9を共通な素因数3でわる。
4と3には共通な素因数がないので、
4分の3は既約分数。

  18
  24
 →   9
18

24
12
 →   3
 
18

24
12
 4
 → 

・帯分数のときは、分数部分だけを約分します。

【練習問題】
次の分数を約分して既約分数にしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)

12
16
()
()’ 
16
40
()
()’ 
 5 
30
()
()’ 
16
36
()
()’ 
24
40
()
()

36
84
()  55
()’ 88
()   81 
()’ 225
()  72
(25)’ 42
(12)
()

 40 
104
()
(13)

■通分
2つ以上の分数の分母を同じにそろえることを通分するといい、そろえた分母を共通な分母といいます。

 
6’8
)を通分するには

@ 分母の最小公倍数24を共通な分母として
A これらの分数を変形する。(最小公倍数が分母の4倍なら、分子も4倍する)


5×4
6×4
20   
24’  8
7×3
8×3
21
24

・帯分数のときは、分数部分だけを通分します。

【練習問題】
次の各組の分数を通分してください。(答えはカッコ内をドラッグ)

(  
8’6
)=( (21) (20)
(24)’(24)
),  (  
8’4
)=( () ()
()’()
)

(  
5’4
)=( (12) ( 5 )
(20)’(20)
),  (  5  
12’8
)=( (10) (21)
(24)’(24)
)

(   5 
8’16
)=( ( 6 ) ( 5 )
(16)’(16)
), (  3  
18’8
)=( (12) (45)
(72)’(72)
)

■分数の大きさ
分子が同じ分数では、分母が小さいほど分数は大きくなります。
分子が2の分数を大きい順にならべると、次のようになります。

        2 
3’4’5’6’8’9’10’12


【練習問題】
次の各組の分数を小さい順にならべてください。

(  
7’7
)=( () ()
()’()
),    (  
5’5
)=( () ()
()’()
)

(  
3’5
)=( () ()
()’()
),    (  
2’3
)=( () ()
()’()
)

(  
8’6
)=( () ()
()’()
),    (  5  
12’3
)=( ( 5 ) ( 2 )
(12)’(  )
)

(  17
6’18
)=( ( 5 ) (17)
(  )’(18)
), (  
3’4
)=( () ()
()’()
)


【同分母の分数の足し算・引き算】(小学4年生)

■同分母の分数の足し算
同分母の分数を加えるには、分母はそのままにして、分子だけを加えます。


 + 
 =  1+3
 5
 = 

・計算の結果は約分して既約分数で表します。

 + 
 =  1+5
 8
 = 


 = 

■結果が仮分数になったとき
足し算の結果が仮分数になったときは、必要に応じて帯分数か整数になおします。
 7 
12
 +  11
12
 =  7+11
 12
 =   3
18

12
 
 = 
 = 1

 + 
 = 
 = 1

■同分母の帯分数の足し算
帯分数を加えるには、整数部分の和と、分数部分の和を加え合わせます。


 +4
 =(2+4)+(
 + 
)= 6+
 = 6

■くり上がりのある足し算
仮分数を帯分数になおして、整数部分にくり上げます。


 +2
 = 7 10
 8
 = 7
 = 8

【練習問題】
次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)




 =(
),     

 =(
),    

 =(
)

 5 
12
 1 
12
 =(
),   

 =(),    

 =(
)


+3

 =(
),1
+4
 =(
),1

 =()


+2

 =(
)

■同分母の分数の引き算
同分母の分数をひくには、分母をそのままにして、分子だけをひきます。


 − 
 =  7−5
 9
 = 
9’   
11
12
 −   7 
12
 =   1
  
12
 3
 = 

■同分母の帯分数の引き算
帯分数をひくには、整数部分の差と、分数部分の差を加え合せます。


 −1
 =(3−1)+(
 − 
)=2+
  

■くり下りのある引き算
整数部分から1をくり下げてひく。または仮分数になおしてから計算します。

例えば、3
,は2
,になおします。


 −1
 = 2
 −1
5 
=(2−1)+(

)=1

【練習問題】
次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)



=(
),  

=(
),    7 
12
 5 
12
=(
)

 8 
15
 2 
15
=(
), 4
−1
=(
), 5  5 
12
−2  1 
12
=(
)


−2
=(
), 3
−1
=(
), 5
−2
=(
)


−2
=(
), 8
−2
=(
), 4
−3
=(
)

■計算の順序
左から順に計算します。かっこがあればかっこの中を先に計算します。


 −(2
 + 
)= 5
 −2
 = 4 10
 7
 −2

=(4−2)+( 10
 7
 − 
)= 2

【練習問題】
次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


−(2

)=(
), 5
−(3
+1
)=(
)

 7 
10
−(2  3 
10
−1  1 
10
)=(
), 2  1 
12
−(2  7 
12
−1  5 
12
)=( 11
12
)


【異分母の分数の足し算・引き算】(小学5年生)

■異分母の分数の足し算
異分母の分数の足し算は、これらの分数を通分して、同分母の分数の足し算になおします。



 5 
20
12
20
17
20
 ×    

1+3
4+5


計算の結果は、約分して既約分数で表します。

 1 
10
25
30
 3 
30
14
28
30
15
14
15
計算の結果が仮分数のときは、帯分数になおします。

 7 
12

14
24
15
24
29
24
=1  5 
24

■異分母の帯分数の足し算
異分母の帯分数の足し算も、通分して、同分母の分数の足し算になおします。

 7 
12
=2  9 
12
 7 
12
=2  4 
16
12
 3 
=2
=3

+2 11
12
=3 16
36
+2 33
36
=(3+2)+( 16
36
33
36
)=5 49
36
=6 13
36

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


 1 
12
=( 11
24
),  
 3 
16
=(  7 
16
), 2
+4  1 
10
=( 29
40
), 3  4 
21
+5  9 
14
=(
)


+5 19
24
=(  1 
24
),   13
15
+5
=( 29
45
), 2
+7 17
21
=(10  9 
14
)

13
15
 3 
10
=(
), 2
+1
=( 13
24
),  
+3
=(  1 
18
)

■異分母の分数の引き算
異分母の分数の引き算は、これらの分数を通分して、同分母の分数の引き算になおします。

 7 
12

14
24
 9 
24
 5 
24
 ×    7 
12

 7−3 
12−8

=1


−3
=6 15
20
−3  4 
20
=3 11
20

 4 
15
−1
=3 12
45
−1 35
45
=2 57
45
−1 35
45
=1 22
45

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


 7 
10
=(  1 
20
),  
 7 
25
=( 13
25
),  
 3 
10
=( 29
70
)

13
18

=(
),  6
−4
=(  1 
24
),  5
−2  5 
21
=( 10
21
)

 9 
10
−2  5 
12
=( 29
60
),  2
−1  7 
24
=( 11
24
),  6
−1  5 
12
=( 23
24
)


−1
=(  7 
12
),  4
−4  5 
21
=( 10
21
),  7  7 
12
−2 23
28
=( 16
21
)


−3  9 
10
=(  4 
15
),  4
−1  5 
18
=(
)

■計算の順序
左から順に計算します。かっこがあればかっこの中を先に計算します。




=1  6 
12
 8 
12
 9 
12
18
12
 8 
12
 9 
12
19
12
=1  7 
12

−(8
−2
)=7
−(8
−2
)=7
−5


=7
−5
=1
これは次のように、4,6,3の最小公倍数12で通分して計算してもよい。


−(8
−2
)=7  3 
12
−(8  2 
12
−2  8 
12

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


−(2

)=(  5 
24
)

【分数の掛け算】(小学5年〜6年生)

■整数との掛け算
整数と分数の掛け算では、分子に整数をかけます。

3×
3×2
 

=1

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)

 4 
27
×2=(  8 
27
),  3×  5 
16
=( 15
16
),    8 
27
×3=(
),  4×
=(
)

■真分数・仮分数の掛け算
分数に分数をかける計算では、分母どうし、分子どうしをそれぞれかけます。


×
5×3
8×4
15    11
32’    6
×  5 
 8
11×5
 6×8
=1  7 
48

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


×
=( 10
63
),  
×
=( 15
32
),  
×
=(  5 
14
)


×  3 
10
=(  1 
15
),  
× 27
 8
=(
),  
×  3 
10
=(
)

13
 6
×
=( 17
48
),  
× 10
 9
=(
)

■帯分数の掛け算
帯分数の掛け算では、帯分数を仮分数になおしてから、分母どうし、分子どうしをそれぞれかけます。


×2

× 11
 4
7×11
 2×4
77
 8
=9

×  3
×2
=(3×2)+(
×
)=6

■掛け算における約分
分数の掛け算で、途中で約分できるときは、約分して計算すると便利です。このとき、分子と分母の組なら、いずれの組み合わせでも約分できます。下の例では、6と24、5と55の組み合わせで約分しています。


×4
55
 6
× 24
 5
11
55×

  ×
 
 
24
 
 
44

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


×1
=(
),  2
×1
=(),  2
×
=( 17
18
)

 3 
11
×1
=(
),  3×1
=(
),  5
×6=(32)


×1
×2  2 
13
=(
),  
×2
×1
=(
)

■計算の順序
かっこがあればかっこの中を先に、加・減・乗・除がまじっていれば、乗・除を加・減より先に計算します。

(1−
×2
)×5=(1−
× 13
 5
)×5=(1− 13
25
)×5=
12×
  25
  5



 
12
 5
=2
 1 
10

×
 8 
15
=5  1 
10
 2 
15
 8 
15
=4  7
21
30
10
=4  7 
10

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)

(4
−2
×1
)×20=(17)

【分数の割り算】(小学5年〜6年生)

■逆数
分子と分母を入れかえた数をその数の逆数といいます。

の逆数は
で、3の逆数は
です。

【練習問題】 次の数の逆数を答えてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


 (
),

 (
),
 (
),
 (
),
 (),2 (
),
 (),5 (
)

■分数の割り算
分数でわる計算は、わる数の逆数をかけます。


÷

×
3×5
4×4
15
16

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


÷
=(  8 
27
),  
÷
=(
),  
÷
=(
)


÷  9 
10
=(  5 
12
),    8 
27
÷
=(
),    8 
15
÷
=(
)


÷
=(
),  
÷
=(
)

■帯分数の割り算
帯分数の割り算では、帯分数を仮分数になおしてから、わる数の逆数をかけます。


÷2
18
 5
÷
18
 5
×
18×2
 5×5
36
25
=1 11
25

■割り算における約分
分数の割り算で、途中で約分できるときは、約分して計算すると便利です。

 9 
14
÷
 9 
14
×
 3   2
  × 

14×
 7  1


【練習問題】 次の計算をしてください。(カッコ内をドラッグ)


÷  6 
13
=(
),  4
÷1 11
14
=(  44 
125
),  6
÷1
=( )

 5 
18
÷2  7 
12
=( 25
93
)

■整数との割り算
整数Aとの割り算では、A=
と考えて計算します。
例えば、3=
1’
  5=
1’
  7=
1’
と考えます。

5÷

÷

×
5×4
1×3
20
 3
=6


÷3= 19
 7
÷
19
 7
×
19×1
 7×3
19
21

でも、なんでそうなるの? という人のためのわかりやすい解説はここ。

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


÷8=(  1 
36
),    7 
12
÷14=(  1 
24
),  9÷
=( 27 ),  8÷
=( 10 )

■計算の順序
掛け算と割り算のまじった計算では、@帯分数を仮分数になおし、Aわる数の逆数をかけて掛け算だけの計算とし、B約分して答を出す。


÷6÷3
11
 5
÷
÷ 11
 3
11
 5
×
×  3 
11
 1
11×

 5 ×
 

1×
×
 1
  

11
 1
 1 
10
4×  5 
18
÷6
×  5 
18
÷ 20
 3
×  5 
18
×  3 
20

×

 
 
 1
  × 
18×
 6

 1
  

20
 
 1


÷
×2
35
 9
×
× 15
 7
 5
35×

 9 ×
 

8×
×
 5
15 

 
 1
200 
  9
=22

×  9 
10
+(1

)÷
 1
10

 
 1
×  3
 9 
10
 1

13×
15×
 5



 
=3 39
25
=4 14
25

【練習問題】 次の計算をしてください。(答えはカッコ内をドラッグ)


÷  5 
18
÷
=( 12 ),  16÷1
×1
=(12
)

(4
−3
)÷1  2 
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■ 一.整数の計算 (小1〜5年)
 ・百ます計算
 ・足し算・引き算の筆算
 ・掛け算・割り算の筆算
 ・計算の順序
 ・偶数・奇数・約数・倍数
 ・素数・素因数分解・累乗
 ・公約数・最大公約数の求め方
 ・公倍数・最小公倍数の求め方

■ 二.分数の計算 (小4〜6年)
 ・分数・真分数・仮分数・帯分数
 ・約分・通分・分数の大きさ
 ・分数の足し算・引き算
 ・分数の掛け算・割り算

■三.小数の計算 (小4〜6年)
 ・小数・四捨五入,切上げ,切捨て
 ・小数の足し算,引き算
 ・小数の掛け算,割り算
 ・小数と分数のまじった計算

■四.単位の換算と面積・体積 (小4〜6年)
 ・単位の換算
 ・面積・体積・表面積の求め方

■五.正の数・負の数の計算 (中1)
 ・正の数・負の数
 ・正・負の数の加法・減法
 ・正・負の数の乗法・除法

■六.文字と式
 ・文字の表し方


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中学生からの論理的な議論の仕方
  序章 論理的に考えるメリット
第一章 論理的な主張の仕方

第二章 論理的な反論の仕方
第三章 詭弁集と反論法
第四章 権力闘争
第五章 統計のウソを見抜く方法
第六章 思考を歪める心理効果
第七章 『親業』 対立解消のプロセス

実践 論理問題集
議論練習 掲示板
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