整数の計算
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【計算の順序】（小学４年生）
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足し算のことを「
引き算のことを「
掛け算のことを「
割り算のことを「
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■２３＋５の筆算の仕方
| 一の位をたてにそろえて |
２３ |
| はじめに、一の位をたす。 ３＋５＝８ 和の８を一の位にそろえて書く。 |
２３ |
| つぎに、十の位を書く。 |
２３ |
■３４＋２３の筆算の仕方
| 十の位と一の位を、たてにそろえて書く。 |
３４ |
| はじめに、一の位をたす。 ４＋３＝７ 和の７を一の位にそろえて書く。 |
３４ |
| つぎに、十の位をたす。 ３＋２＝５ |
３４ |
一の位、つぎに十の位と、
■３４＋９の筆算の仕方
| 一の位をたす。 ４＋９＝１３ |
３４ |
| 十の位に１をくり |
１ |
| 十の位は、くり上げた１をたして、 １＋３＝４ |
１ |
■３５＋２８の筆算の仕方
| 一の位をたす。 ５＋８＝１３ |
３５ |
| 十の位に１をくり上げる。 |
１ |
| 十の位は、くり上げた１とで、 １＋３＋２＝６ |
１ |
十の位を
■７８＋５４の筆算の仕方
| 一の位をたす。 ８＋４＝１２ 十の位に１くり上げる。 |
１ |
| 十の位は、くり上げた１とで、 １＋７＋５＝１３ |
１ |
| 百の位は、十の位からくり上がった１を書く。 |
１１ |
■２６＋１７＋３８の筆算の仕方
| 一の位をたす。 ６＋７＋８＝２１ |
２６ |
| 十の位に２をくり上げて、 ２＋２＋１＋３＝８ |
２ |
■２７８＋１２４の筆算の仕方
| 一の位をたす。 ８＋４＝１２ 十の位に１をくり上げる。 |
１ |
| 十の位は、くり上げた１とで、１＋７＋２＝１０ 十の位は０で、百の位に１くり上げる。 |
１１ |
| 百の位は、くり上げた１とで、１＋２＋１＝４ |
１１ |
■足し算の
計算を
２７８ １２４
＋１２４ → ＋２７８
４０２ ４０２
２７８ ４０２
＋１２４ → －２７８
４０２ １２４
引き算の筆算は、一の位と十の位をたてにそろえて書きます。一の位、十の位の順に上の数から下の数を引いていきます。
■２５－３の筆算の仕方
| 一の位をたてにそろえて書く。 |
２５ |
| はじめに、一の位をひく。 ５－３＝２ |
２５ |
| つぎに、十の位を書く。 |
２５ |
■３６－２４の筆算の仕方
| 一の位と十の位をたてにそろえて書く。 |
３６ |
| はじめに、一の位をひく。 ６－４＝２ |
３６ |
| つぎに、十の位をひく。 ３－２＝１ |
３６ |
■３４－８の筆算の仕方
| 一の位の４から８はひけないので、十の位から１をくり下げてひく。 １４－８＝６， 一の位に６を書く。 |
３４ |
| 十の位から１をくり下げたので、３から１をひく。 ３－１＝２， 十の位から１くり下がったことを忘れないように、上に小さく書いておく。 |
２ |
| 十の位を書く。 |
２ |
■２３６－５７の筆算の仕方
| 一の位の６から７はひけないので、十の位から１をくり下げてひく。 １６－７＝９， 一の位に９を書く。 |
２ |
| 十の位から１をくり下げたので、十の位は２。 ２から５はひけないので、百の位から１をくり下げてひく。 １２－５＝７， 十の位に７を書く。 |
１２ |
| 百の位から１をくり下げたので、百の位は１。 百の位に１を書く。 |
１２ |
■６４５－２７８の筆算の仕方
| 一の位の５から８はひけないので、十の位から１をくり下げてひく。 １５－８＝７， 一の位に７を書く。 |
３ |
| 十の位から１をくり下げたので、十の位は３。 ３から７はひけないので、百の位から１をくり下げてひく。 １３－７＝６， 十の位に６を書く。 |
５３ |
| 百の位から１をくり下げたので、百の位は５。 ５から２をひく。 ５－２＝３ 百の位に３を書く。 |
５３ |
■１２０３－４２５の筆算の仕方
| 一の位の３から５はひけない。十の位は０なので、百の位から十の位に１くり下げて、さらに一の位に１くり下げてひく。 １３－５＝８， 一の位に８を書く。 |
１９ |
| 十の位は９なので、９から２をひく。 ９－２＝７， 十の位に７を書く。 |
１９ |
| 百の位から１をくり下げたので、百の位は１。 １から４はひけないので、千の位から１くり下げてひく。 １１－４＝７， 百の位に７を書く。 |
１９ |
■引き算の検算
引き算の検算は、答えにひく数をたして、ひかれる数になるかどうかで調べます。
１２０３ ７７８
－ ４２５ → ＋４２５
７７８ １２０３
計算問題自動作成ツールをお使いください。
■２３×３の筆算の仕方
２３×３の筆算は、はじめに一の位の掛け算をし、つぎに、十の位の掛け算をして答えを
| 一の位をたてにそろえて書く。 |
２３ |
| かける数３と、かけられる数の一の位の３をかけ、積の９を一の位にそろえて書く。 |
２３ |
| つぎに、かける数３と、かけられる数の十の位の２をかけ、積の６を十の位に書く。 |
２３ |
■１７×４の筆算の仕方
| ４×７の２８を書く。 |
１７ |
| ４×１の４は、４０のことだから、４を十の位に書く。 |
１７ |
| 積をすべて足す。 ２８＋４０＝６８， １７×４の積は６８。 |
１７ |
■３５×２４の筆算の仕方
| ４×５の２０を十の位に、 ４×３の１２を百の位に書く。 |
３５ |
| かける数の十の位の２と、かけられる数をかける。 ２×５の１０を百の位に、 ２×３の６を百の位に書く。 |
３５ |
| 積をすべて足して、和の８４０を書く。 ３５×２４の積は８４０。 |
３５ |
■掛け算の検算
掛け算の検算は、積をかける数でわり、かけられる数になるかどうかで調べます。
（積）÷（かける数）＝（かけられる数）
【練習問題】
計算問題自動作成ツールをお使いください。
■４８÷３の計算
| ４８÷３の筆算は右のように書きます。 |
|
| 《解き方》 ①十の位の４を３でわる。 |
|
| ②３と１をかけ、わられる数の十の位にそろえて書く。 |
|
| ③４から３をひき、差の１を十の位にそろえて書く。 |
|
| ④のこりの１の右に、一の位の８をおろす。 |
|
| ⑤１８を３でわり、答えの６を一の位に立てて計算する。 |
|
| ⑥３と６をかけ、答えを１８からひいて、一の位のあまりを出す。４８÷３の商は１６で、あまりは０です。 |
|
■６７５÷５の計算
| ①百の位の６を５でわる。答えの１を百の位にそろえて書く。５×１の５を６の下に書く。６－５の１を書く。 | １ |
| ②十の位の７をおろす。１７÷５の答えの３を十の位にそろえて書く。５×３の１５を１７の下に書く。１７－１５の２を書く。 |
|
| ③一の位の５をおろす。２５÷５の答えの５を一の位にそろえて書く。５×５の２５を２５の下に書く。２５－２５の０を最後に書く。６７５÷５の商は１３５で、あまりは０です。 |
|
■２６３÷４の計算
| ①百の位の２を４でわると、答えは０となる。このようなとき、百の位に答えは立たないという。 | |
| ②わられる数を十の位までとり、２６÷４の答えの６を十の位にそろえて書く。４×６の２４を２６からひき、２を書く。 |
６ |
| ③一の位の３をおろす。２３÷４の答えの５を一の位にそろえて書く。４×５の２０を２３からひき、あまりの３を書く。２６３÷４の商は６５で、あまりは３です。 |
６５ |
■答えがはじめて立つ位
はじめの位に答えが立つかどうかは、わられる数とわる数の大きさを比べればわかります。
《はじめの位に答えが立つとき》
|
□ |
□ |
□ |
《はじめの位に答えが立たないとき》
|
□ |
□ |
□ |
わられる数のいちばん左の位の数が、わる数より小さいときは、はじめの位に答えが立ちません。
■２４０÷３の計算
２４÷３と考えて、答えの８を１０倍する。すると商は８０で、あまりは０になります。
■８６÷２１の計算
| ①８０÷２０と考えて、商の４をたて、わられる数の一の位にそろえて書く。 |
４ |
| ②２１と４をかけて、積の８４をわられる数の８６の下に書く。 |
４ |
| ③８６から８４をひき、差の２を、位をそろえて書く。２はあまりになる。 |
４ |
■８６÷２７の計算
| ①わる数の２７を２０とみて、８０÷２０と考え、商を４と見当つける。８６から１０８は引けない。 |
４ |
| ②このようなときには、商を１小さくして３とする。あまりは５となる。 |
３ |
■７４÷１７の計算
| ①わる数の１７をおよそ２０とみて、７０÷２０と考え、仮の商の３をたてる。あまりの２３は１７より大きいから、もう１こずつ分けられる。 |
３ |
| ②仮の商を１大きくして４とする。あまりは６で１７より小さいから、７４÷１７の商は４で、あまりは６です。 |
４ |
■商のはじめて立つ位
わる数が２けたのとき、はじめの商が、わられる数のどの位に立つかは、わられる数とわる数の大きさを比べればわかります。
≪わられる数の上から２けために立つとき≫
|
□ |
□ |
□ |
２けたの数でわるとき、わられる数の上から２けたとった数が、わる数と同じか、わる数より大きいときは、はじめの商はわられる数の上から２けために立つ。
≪わられる数の上から３けために立つとき≫
|
□ |
□ |
□ |
２けたの数でわるとき、わられる数の上から２けたとった数が、わる数より小さいときは、はじめの商はわられる数の上から３けために立つ。
■７５６÷８８の計算
| ①わられる数を上から２けたとって、わる数の８８と比べると、７５＜８８となるので、商は十の位に立たない。 |
|
| ②わる数の８８を９０とみて、７５６÷９０で、仮の商を８とする。 |
８ |
| ③８８×８の積の７０４を７５６から引くと５２。５２＜８８となるので、商は８で、あまりは５２となる。 |
８ |
■８９２÷３６の計算
| ①わられる数を上から２けたとると、８９＞３６なので、十の位に商が立つ。 |
|
| ②８９÷４０で、商の２を十の位に立て、３６×２の積の７２を８９から引き、差の１７を書く。 |
２ |
| ③２を１７の右におろして、１７２÷３６を計算する。商の４を一の位に書き。３６×４の積の１４４を１７２から引く。商は２４で、あまりは２８となる。 |
２４ |
■３４００÷４５の計算
| ①わられる数を上から２けたとると、３４＜４５なので、十の位に商が立つ。 |
|
| ②３４０÷５０で、仮の商を６として計算すると、あまりは４５＜７０となる。 |
６ |
| ③商を７にして、右のように計算する。商は７５で、あまりは２５となる。 |
７ |
■６７９４÷２５４の計算
| ①わられる数を上から３けたとると、２５４＜６７９だから、商は十の位に立つ。 |
□ |
| ②２５４を３００とみて、６７９÷３００で、十の位の商の２を見つける。 |
２ |
| ③１７１４÷３００で、一の位の仮の商を５とする。あまりは４４４となり、わる数より大きくなる。 |
２５ |
| ④一の位の商を１大きくして６とする。あまりは１９０となり、２５４より小さくなるから、商は２６で、あまりは１９０となる。 |
６ |
■割り算の検算
割り算の検算は、わる数と商をかけて、積にあまりをたして、わられる数になればよい。
（わる数）×（商）＋（あまり）＝（わられる数）
【練習問題】 答えはカッコの中をマウスでドラッグしてください。
| (1) 294÷7=(42) (4) 288÷96=(3) (7) 6004÷19=(316) (10) 50620÷20=(2531) |
(2) 342÷9=(38) (5) 477÷53=(9) (8) 18531÷213=(87) (11) 73500÷300=(245) |
(3) 1672÷8=(209) (6) 2163÷21=(103) (9) 77682÷726=(107) (12) 67900÷700=(97) |
もっと問題を解きたい方は、計算問題自動作成ツールをお使いください。
加法・減法だけ、または乗法・除法だけの場合は、左から順に計算します。（下線の部分から計算。）
| ① ６１－４２＋８＝１９＋８＝２７ ② ５６×９÷２１＝５０４÷２１＝２４ ③ ４０÷５×２＝８×２＝１６ |
× ６１－４２＋８＝６１－５０＝１１ × ４０÷５×２＝４０÷１０＝４ |
加・減・乗・除がまじっている場合は、乗・除を先に計算します。
| ① １７＋３×４＝１７＋１２＝２９ ② ３×７０－６５÷５＝２１０－１３ ＝１９７ |
× １７＋３×４＝２０×４＝８０ × ３×７０－６５÷５＝２１０－６５÷５ ＝１４５÷５＝２９ |
【練習問題】 答えはカッコ内をドラッグ。
| (1) 6＋3×2=(12) (4) 56－5×7=(21) (7) 3×6－4÷2=(16) (10) 125÷5＋3×7=(46) |
(2) 6－3×2=(0) (5) 26＋4×6=(50) (8) 3×6＋4÷2=(20) (11) 25÷5－5=(0) |
(3) 56＋5×7=(91) (6) 26－4×6=(2) (9) 125÷5－3×7=(4) (12) 25÷5＋5=(10) |
カッコがある場合は、カッコの中を先に計算します。
| ① ５６－６×（４１－３４）＝５６－６×７ ＝５６－４２＝１４ |
× ５６－６×（４１－３４）＝５０×７ ＝３５０ |
【練習問題】 答えはカッコ内をドラッグ。
| (1) 67-(100-52)=(19) (4) 74÷(21+16)=(2) (7) 90-(50+5×3)=(25) (10) 80×(4+8)+25=(985) |
(2) (28+13)×(25-17)=(328) (5) (32÷4)÷2=(4) (8) 35-5×(25-20)=(10) (11) 12×(43-15)÷21=(16) |
(3) (35+25)÷5=(12) (6) 100-(50-7×6)=(92) (9) 40+3×(2+6)=(64) (12) 4×(12-8÷2)=(32) |
■
２でわりきれる
偶数： 0,2,4,6,8,10,12,14,・・・・・・・・・
奇数： 1,3,5,7,9,11,13,15,・・・・・・・・・
【練習問題】
次の計算の結果は、偶数になるか、奇数になるか。（答えはカッコ内をドラッグ）
| (1) 偶数＋偶数＝（偶数） (4) 偶数×偶数＝（偶数） |
(2) 偶数＋奇数＝（奇数） (5) 偶数×奇数＝（偶数） |
(3) 奇数＋奇数＝（偶数） (6) 奇数×奇数＝（奇数） |
■
整数Ａが整数Ｂでわりきれるとき、ＢをＡの約数といい、ＡをＢの倍数といいます。６は３でわりきれるから、３は６の約数で、６は３の倍数です。
・Ａを整数とすると
Ａ÷１＝Ａ だから１はすべての整数の約数であり、
Ａ×０＝０ だから０はすべての整数の倍数です。
【練習問題】
次の数の約数を、小さいものから全部書いてください。（答えはカッコ内をドラッグ）
| (1) １２ （１，２，３，４，６，１２） (3) ２４ （１，２，３，４，６，８，１２，２４） (5) ７５ （１，３，５，１５，２５，７５） |
(2) １６ （１，２，４，８，１６） (4) ５４ （１,２,３,６,９,１８,２７,５４） |
次の数の倍数を、小さいものから順に５つずつ書いてください。
| (1) ３ （0,3,6,9,12） (4) ７ (0,7,14,21,28) |
(2) ５ (0,5,10,15,20) (5) １１ （0,11,22,33,44） |
(3) １０ （0,10,20,30,40） (6) １５ (0,15,30,45,60) |
■
１より大きい整数で、１とその数自身以外に約数がない整数を素数といいます。つまり、約数の個数が２個だけの数です。
１から１００までの素数： ２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，５３，５９，６１，６７，７１，７３，７９，８３，８９，９７
■
約数のことを
因数が素数であるとき、これを素因数といいます。
12=1×12，12=2×6，12=3×4だから、12の因数は1,2,3,4,6,12です。これらのうち、素因数は2,3です。
■
整数を素因数の積に表すことを、素因数に分解するといいます。１２を素因数に分解するには、１２を小さい素数から順にわって、それらの素因数の積を作ります。
| １２を素数の２でわり、商の６を１２の下に書く。６を素数の２でわり、商の３を６の下に書く。３は素数なのでこれで終わり。 |
２）１２ |
| 右は誤った例。２，３は素因数だが、６，４は素因数でない。 | × １２＝２×６ × １２＝３×４ |
■素因数の見つけ方
・一の位が偶数なら、２でわれる。
・すべてのけたを足して３の倍数になれば、３でわれる。（例： 3687なら、3+6+8+7=24なので3の倍数。）
・一の位が５なら、５でわれる。
【練習問題】 次の数を素因数に分解してください。（答えはカッコ内をドラッグ）
| (1) 20=(2×2×5) (4) 45=(3×3×5) (7) 72=(2×2×2×3×3) (10) 175=(5×5×7) |
(2) 30=(2×3×5) (5) 56=(2×2×2×7) (8) 84=(2×2×3×7) (11) 210=(2×3×5×7) |
(3) 42=(2×3×7) (6) 60=(2×2×3×5) (9) 140=(2×2×5×7) (12) 296=(2×2×2×37) |
■
「２２」や「７３」のように、同じ数をいくつかかけあわせたものを、その数の累乗といいます。かけあわせた個数を表す数を指数といい、右肩に小さく書きます。
例） ２２＝２×２
７３＝７×７×７
「２２」を「２の２
【練習問題】 次の積を累乗の形で表してください。（答えはカッコ内をドラッグ）
| (1) 10×10=(102) (3) 10×10×10×10=(104) (5) 2×2×2=(23) (7) 7×7×7×7×7=(75) (9) 3×3×3×5×5=(33×52) (11) 2×2×3×2=(23×3) |
(2) 10×10×10=(103) (4) 3×3=(32) (6) 5×5×5×5=(54) (8) 7×7×11×11=(72×112) (10) 2×2×3×3×3=(22×33) (12) 3×7×3×7×7=(32×73) |
・次の値を求めよ。（答えはカッコ内をドラッグ）
| (1) 12=(1) (5) 33=(27) (9) (2×3)2=(36) |
(2) 23=(8) (6) (22)3=(64) (10) (2×5)3=(1000) |
(3) 24=(16) (7) 2×32=(18) |
(4) 32=(9) (8) 23×32=(72) |
■公約数
２つ以上の整数に共通な約数を、それらの数の公約数といいます。
１２の約数…１，２，３，４，６， １２
１８の約数…１，２，３， ６，９， １８
１２と１８の公約数…１，２，３， ６，
■公約数の見つけ方
２つの整数の公約数を見つけるには、まず小さいほうの数が、大きいほうの数の約数になっているかを調べます。８÷４＝２で、８は４でわり切れるので、４は８の約数になっていることがわかります。このときは、４の約数すべてが８の約数です。
【練習問題】
次の各組の公約数を、すべて書いてください。（答えはカッコ内をドラッグ）
(1) 5,10 (1,5) (2) 12,24 (1,2,3,4,6,12)
■最大公約数
公約数のうちで最も大きい数を、最大公約数といいます。１２と１８の最大公約数は６です。
■最大公約数の求め方
２４，３６，６０の最大公約数は、次のようにして求めることができます。
| ①おのおのの数を共通の素因数でわる。 ②これを、共通の素因数がなくなるまで繰り返す。 ③わった数をすべてかけあわせる。 |
２）２４ ３６ ６０ ２）１２ １８ ３０ ３） ６ ９ １５ ２ ３ ５ 最大公約数…２×２×３=１２ |
【練習問題】
次の各組の数の最大公約数を求めましょう。（答えはカッコ内をドラッグ）
| (1) 16,18 (2) (4) 72,180 (36) (7) 88,110,154 (22) |
(2) 30,45 (15) (5) 22,24,40 (2) (8) 36,42,84,90 (6) |
(3) 40,56 (8) (6) 24,30,210 (6) |
【文章題】 りんごが４２個、みかんが５６個ある。これを、何人かに同じように分けようと思う。できるだけ多くの人に分けるようすれば、何人に分けることができるか。
答え （１４人）
■公約数は、どれも最大公約数の約数になっています。
【練習問題】
次の各組の公約数を、すべて書いてください。（答えはカッコ内をドラッグ）
(2) 8,12 (1,2,4) (3) 16,18 (1,2) (4) 16,24 (1,2,4,8)
【例題】 ある数で５７をわると５あまり、８４をわると６あまります。このような数をすべて求めてみましょう。
■解き方
ある数で５７をわると５あまるということは、５７－５＝５２ だから、ある数は５２をわり切る数です。つまり、５２の約数です。また、ある数で８４をわると６あまるということは、８４－６＝７８ だから、７８もわり切る数です。つまり、７８の約数でもあるということです。そこで、ある数は、５２と７８の公約数であることがわかります。
５２の約数…１，２，４， １３，２６， ５２
７８の約数…１，２， ３，６，１３，２６，３９， ７８
【練習問題】 ７５をある数でわると３あまり、同じく１８１をある数でわると１あまる。このようなある数はいくつかあるが、その中で、最も大きい数を求めよ。
答え （３６）
■公倍数
２つ以上の整数に共通な倍数を、これらの数の公倍数といいます。
8の倍数…0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56
12の倍数…0, 12, 24, 36, 48, 60
8と12の公倍数…0, 24, 48
■最小公倍数
公倍数のうちで、０を除いて最も小さい数を最小公倍数といいます。８と１２の最小公倍数は２４です。
■最小公倍数の求め方
１２，１８，４５の最小公倍数は、次のようにして求めることができます。
①どれか２つ以上の数に共通な素因数があればそれでわり、わり切れない数はそのまま下に書く。
②残った数と、それまでにわった数をかけあわせる。
| 【より詳しい解説】 ①１２と１８の共通の素因数は２なので、２でわり、商の６と１２を下に書く。４５はわり切れないので、そのまま下に書く。 ②６，９，４５を共通の素因数３でわり、商の２，３，１５を下に書く。 ③２，３，１５を共通の素因数３でわり、商の２，１，５を下に書く。 ④２，１，５には、すでに２つ以上の数に共通な素因数がないので、わらなくてよい。 ⑤残った数の２，１，５と、それまでにわった数の２，３，３をかけあわせる。積の１８０が最小公倍数。 |
2）12，18，45 3） 6， 9, 45 3） 2， 3，15 2， 1， 5 最小公倍数… 2×3×3×2×5＝180 |
【練習問題】
次の各組の数の最小公倍数を求めてください。(答えはカッコ内をドラッグ)
| (1) 6, 12 = (12) (4) 33, 45 = (495) (7) 15, 27, 36 = (540) |
(2) 15, 18 = (90) (5) 4, 6, 8 = (24) (8) 15, 18, 24, 30 = (360) |
(3) 16, 48 = (48) (6) 6, 8, 24 = (24) |
■公倍数は、どれも最小公倍数の倍数になっています。
【練習問題】
次の各組の数の公倍数を、小さいものから順に３つずつ書いてください。（答えはカッコ内をドラッグ）
| (1) 2,3 (0,6,12) (4) 8,12 (0,24,48) (7) 5,10,20 (0,20,40) |
(2) 4,7 (0,28,56) (5) 2,3,4 (0,12,24) (8) 10,15,20 (0,60,120) |
(3) 6,10 (0,30,60) (6) 4,6,10 (0,60,120) |
【文章題】
駅前から、東まわりのバスが１２分ごとに発車し、西まわりのバスが１５分ごとに発車している。６時１０分に、両方のバスが発車した。次に、両方がそろって発車するのはいつか。
答え （７時１０分）
【練習問題】
１２と１８の公倍数の中で、１００にもっとも近い数を求めてください。
答え （１０８）
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